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| 矩阵的标准形及其应用研究 摘 要 通过对高等代数的学习，我了解到了一个相当重要的内容就是矩阵理论。在矩阵中，矩阵的标准形的方法是解决矩阵问题的重要方法之一。在学习矩阵标准形的过程中，通过对矩阵的等价、相似和合同等知识的学习加深了对矩阵的了解。矩阵在不同的变换下产生了各种标准形。本文从矩阵的等价、相似和合同这三大基本内容入手展开讨论，得出矩阵的等价标准形、相似标准形和合同标准形。通过一些定理和例题，讨论了矩阵的等价、相似、合同标准形在矩阵的分解表示，矩阵的秩和矩阵的特征值等方面的应用。 关键词 矩阵;标准形;等价;相似;合同 目 录 序言 1 1等价标准形 1 1.1等价矩阵及其性质 1 1.2等价标准形 1 1.3等价标准形的应用 2 1.3.1用于矩阵的分解 2 1.3.2用于秩的问题 3 1.3.3用于行列式问题 3 1.3.4 用于解决矩阵方程 4 2λ矩阵的标准形 5 2.1λ矩阵 5 2.1.1λ矩阵的基本概念 5 2.1.2λ矩阵的初等变换与等价 6 2.2λ的标准形 6 2.3λ矩阵的因子 7 2.3.1λ矩阵的不变因子 7 2.3.2λ矩阵的行列式因子 8 2.3.3λ矩阵的初等因子 8 2.4λ矩阵标准形的应用 9 3 相似标准形 10 3.1相似对角形 10 3.2若尔当(Jordan)标准形 12 3.2.2若尔当标准形的求法 14 3.3相似标准形的应用 17 3.3.3用于特征值问题 19 3.3.4用于迹的问题 20 3.3.5用于求满足条件的矩阵 21 4合同标准形 21 4.1合同矩阵及其性质 21 4.2合同标准形 21 4.3合同标准形的应用 22 5正交相似(合同)标准形 23 5.1正交相似合同标准形 23 5.2正交相似(合同)标准形的应用 23 5.2.1 用于矩阵的分解 23 5.2.2 用于实对称阵的特征根问题 24 5.2.3 用于二次型及正定性问题 24 5.2.4 用于行列式问题 24 5.2.5 用于其它问题 25 6总结 26 参考文献 27 致 谢 28 |
