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| 不变子空间间直和分解 摘要 高等代数的理论是一个整体，其研究的主要对象是有限维线性空间中的线性变换和各种特殊线性变换的性质。在整个理论学习过程中，高等代数利用矩阵与线性变换特征值来研究有限维空间，但随着空间的维数增加并趋近于无穷大时，矩阵这一特殊工具便无法使用，后续课程比如泛函分析研究无穷维线性空间的重要手段是有界线性泛函，对于无穷维空间上的线性算子，其实也有着类似于有限维空间线性变换特征值的东西称之为谱，对于有限维空间可以利用特征值构造不变子空间进而对空间进行直和分解，从而达到简化线性变换的效果，这一方法对后续课程学习起着承前启后的作用，不管是对微分方程的求解，还是对于无穷维空间上的特殊算子不变子空间的构造，都会起到非常巨大的作用，但是是否任意一个线性算子都有不变子空间的问题并没有得到解决，这一问题有着广泛的研究前景，这更加凸显了不变子空间直和分解的重要性。本文从线性变换的定义出发,给出了不变子空间及不变子空间的直和分解若干性质及相应结论的证明，讨论了矩阵的若尔当标准型与不变子空间的联系，讨论了矩阵特征值与不变子空间直和分解的联系，阐述了不变子空间直和分解在应对特殊问题和解决一类常微分方程的具体应用，讨论了不变子空间在欧氏空间上的应用以及紧算子的定义和谱理论。 关键词 线性变换；不变子空间；直和分解；微分方程； 目录 第一章 前言与基本概念 1 1.1 前言 1 1.2 线性映射与线性变换 4 1.3 线性变换的核与值域 7 1.4 最小多项式 11 第二章 直和与“真子空间覆盖”定理 14 2.1 直和的定义及证明直和的三种方法 14 2.2 一些特殊空间的直和分解 14 2.3 “非平凡子空间覆盖”定理及其应用 16 第三章 不变子空间直和分解的研究与应用 18 3.1 预备知识与不变子空间的求法 18 3.2 线性变换与矩阵多项式因式分解与线性空间直和分解的联系 20 3.3 线性空间直和分解在矩阵中的应用 25 第四章 若尔当型矩阵与不变子空间直和分解在解常微分方程中的应用 27 4.1 若尔当型矩阵与不变子空间的联系 27 4.2 利用两种方法求解常系数线性微分方程组基解矩阵 27 第五章 内积空间 33 5.1 内积、度量矩阵与标准正交基 33 5.2 正交补空间 36 第六章 谱论与紧线性算子 40 6.1 无穷维空间线性算子的谱 40 6.2 紧线性算子的谱分析 42 第七章 总结与不足 44 参考文献 46 致谢 47 |
